Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Определение. Квадратным именуется уравнение вида

где — вещественные числа, .

Решим квадратное уравнение. Разделим обе части на

\begin{array}{l}<br /> x^2+{b\over a}x+c=0,\\<br /> \displaystyle<br /> \left( x+{b\over 2a}\right)^2-{b^2\over 4a Квадратные уравнения^2}+{c\over a}=0,\\<br /> \displaystyle<br /> \left( x+{b\over 2a}\right)^2={b^2-4ac\over 4a^2}.<br /> \end{array}

Число именуется дискриминантом данного уравнения.

Если {\cal D}<0, то уравнение можно представить в виде

\displaystyle<br /> \left( x+{b\over 2a}\right Квадратные уравнения)^2=\left({\sqrt{\cal D}\over 2a}\right)^2,
\displaystyle<br /> x+{b\over 2}a={\sqrt{\cal D}\over 2a}
либо
\displaystyle<br /> x+{b\over 2}a=-{\sqrt{\cal Квадратные уравнения D}\over 2a},

либо
\displaystyle<br /> x={-b-\sqrt{\cal D}\over 2a}.

Уравнение имеет два корня

Если , то формулу для корней можно переписать в таком виде

\displaystyle<br /> x={-2b’\pm\sqrt{4b’^2-4ac Квадратные уравнения}\over 2a}={-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}\over a}.

— корень в том и исключительно в том случае, если .

— корень в том Квадратные уравнения и исключительно в том случае, если .

Аксиома Виета

Превосходный математик французского Ренессанса Франсуа Виет (1540–1603) ввел коренные улучшения в алгебраическую символику. Посреди многих собственных открытий он в особенности ценил установление зависимости меж корнями и коэффициентами Квадратные уравнения уравнений. Виет много занимался алгебраическими уравнениями, надлежащими делению угла на три, 5 и семь равных частей. Он отыскал разложение \cos nx и \sin nx по степеням \cos x и \sin x. Это позволило ему Квадратные уравнения сразу решить в октябре 1594 г. уравнение 45-й степени с числовыми коэффициентами, предложенное как вызов всем математикам мира голландским ученым Андриеном ван Роуменом (1561–1615). Виет разработал оригинальное исчисление прямоугольных треугольников и в первый Квадратные уравнения раз разглядел нескончаемые произведения.

Аксиома. Если и — корешки квадратного уравнения и других корней у этого уравнения нет, то

\displaystyle<br /> x_1+x_2=-{b\over a},\ x_1x_2={c\over a}.

Подтверждение Квадратные уравнения. Можно считать, что
\displaystyle<br /> x_1={-b-\sqrt{\cal D}\over 2a},\ x_2={-b+\sqrt{\cal D}\over 2a},

\displaystyle<br /> x_1+x_2={-b-\sqrt{\cal D}-b+\sqrt{\cal D}\over 2a}=-{b\over a},

\displaystyle<br /> x_1x_2={(-b)^2-(\sqrt Квадратные уравнения{\cal D})^2\over 4a^2}={b^2-b^2+4ac\over 4a^2}={c\over a}.<br />

Оборотная аксиома Виета

Аксиома. Пусть дано квадратное уравнение

<br /> ax Квадратные уравнения^2+bx+c=0

Если числа Квадратные уравнения и таковы, что

\displaystyle<br /> x_1+x_2=-{b\over a},x_1x_2={c\over a},

то и — корешки уравнения , и других корней это уравнение не имеет.

\begin{array}{l}<br /> \displaystyle<br /> ax Квадратные уравнения^2+bx+c=a\left( x^2+{b\over a}x+{c\over a}\right)=\\<br /> =a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)=a(x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2)=\\<br /> =a(x(x-x Квадратные уравнения_1)-x_2(x-x_1))=a(x-x_1)(x-x_2).<br /> \end{array}

Таким макаром,
и — корешки этого уравнения, и других корней это уравнение не Квадратные уравнения имеет.

Следствие. Попутно подтверждено, что если и — корешки уравнения и других корней у него нет, то левая часть представляется в виде


kvantovaya-optika-kvantovaya-fizika.html
stat.txt
kursovaya-rabota-na-temu-pozakaznij-metod-ucheta-zatrat-i-kalkulirovanie-sebestoimosti-produkcii.html