Квадратурные формулы. Формулы Рунге

Интерполирование функций

Приближенное вычисление определенных интегралов

Постановка задачки

Квадратурные формулы. Формулы Рунге

Интерполирование функций

Задачка интерполяции – нахождение значения таблично данной функции в тех точках снутри данного интервала, где она не задана.

Начальные табличные данные могут быть получены экспериментально либо расчетным методом по сложным зависимостям.

Решение задачки интерполяции и построение интерполяционной функции L(x), заменяющей начальную f Квадратурные формулы. Формулы Рунге(x), заданную таблично, и проходящей через все данные точки – узлы интерполяции. При помощи этой функции можно высчитать разыскиваемое значение начальной функции в хоть какой точке (набросок1).

Набросок 1

Способ Лагранжа

Пусть функция y=f(x) определена таблицей:

Таблица 1

xi x0 x1 xn
yi y0 y1 yn

Значения аргументов { xi },(i=0,1,…,n Квадратурные формулы. Формулы Рунге) именуют узлами интерполяции.

Задачей интерполяции является построение многочлена L(x), значения которого в узлах интерполяции xi равны соответственно значениям данной функции:

L(xi)= yi ,(i=0,1,…,n).

Интерполяционной формулой Лагранжа именуется формула, представляющая многочлен L(x) в виде

,

Где - многочлен степени n,принимающий значение, равное единице в узле xi и нулю в Квадратурные формулы. Формулы Рунге других узлах xk ( ) и принимающий вид:

Многочлен L(x) именуется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Оценить погрешность интерполяции можно по формуле: в точке х из [x0, xn]:

, где

- наибольшее значение (n+1) производной начальной функции f(x) на отрезке[x0, xn].

Приближенное вычисление определенных интегралов

Постановка задачки

Дана непрерывная функция f(x) на отрезке Квадратурные формулы. Формулы Рунге [a,b]. Требуется вычислить определенный интеграл

Геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной функции f(x) заключается в том, что значение I- это площадь, ограниченная кривой y= f(x),осью абсцисс и прямыми x=a, x=b (набросок 2).

a

Набросок 2

Часто интеграл не выражается в простых функциях. В таких случаях применяется численное Квадратурные формулы. Формулы Рунге интегрирование. Основная мысль численного интегрирования состоит в том, что

1. отрезок [a,b] разбивается на n частей [xi, xi+1], i=0,1,…,n-1.

2. На каждом частичном отрезке подынтегральная функция заменяется просто интегрируемой функцией.

3. Приближенное значение интеграла I на отрезке [a,b] будет равно сумме интегралов от аппроксимирующей функции на каждом частичном Квадратурные формулы. Формулы Рунге отрезке:

, где

S-квадратурная формула;

R-погрешность квадратурной формулы.

Числа qi именуются весами и зависят от вида квадратурной формулы. Начальная подынтегральная функция рассчитывается в узлах zi, которые также зависят от вида используемой квадратурной формулы.

Квадратурные формулы. Формулы Рунге

Поначалу разглядим квадратурные формулы прямоугольников- левых, правых, средних. Подынтегральная функция заменяется на Квадратурные формулы. Формулы Рунге каждом частичном отрезке прямой, параллельной оси х, т.е. константой , которая просто встраивается. Выходит прямоугольник, площадь которого является приближенным значением интеграла на этом отрезке.

Набросок 3

Если ровная проходит через точку подынтегральной кривой, соответственной левому узлу отрезка[xi, xi+1], то это формула левых прямоугольников-

, (набросок 3).

через правый узел, то это Квадратурные формулы. Формулы Рунге формула правых прямоугольников

.(набросок 4)

Набросок 4

Если через середину отрезка – то это формула средних прямоугольников –

.(набросок 5).

Набросок 5

Если подынтегральная функция заменяется прямой, проходящей через точки подынтегральной кривой, подходящим примыкающим узлам то выходит формула трапеций .(набросок 6)

Набросок 6

Просуммировав площади прямоугольников либо трапеций на всех частичных отрезках, составляющих отрезок[a,b], получим составные формулы

Правых Квадратурные формулы. Формулы Рунге прямоугольников

Левых прямоугольников

Средних прямоугольников

Трапеций

.

Погрешность квадратурной формулы оценивается величиной остаточного члена R(h), зависящего от шага разбиения h либо числа разбиений n.

Для формулы прямоугольников

Для формулы трапеций

.

Фактически употребляется способ двойного пересчета: По квадратурной формуле проводят вычисление интеграла с шагом и получают значение S(h). Потом уменьшают шаг в два раза Квадратурные формулы. Формулы Рунге и получают новое приближенное значение S(h/2). Чтоб найти, как очень уклоняется значение S(h/2) от четкого значения интеграла, употребляют правило Рунге:

,

где к=2 для формул прямоугольников и трапеций (порядок точности).

При данной точности, вычисления с уменьшающимся шагом проводят до того времени, пока

. ε-заданная точность.


kursovaya-rabota-po-discipline-finansi-predpriyatiya-na-temu-bankrotstvo-i-sanaciya-predpriyatij-v-ukraine.html
kursovaya-rabota-po-discipline-informacionnie-sistemi-v-nalogooblozhenii.html
kursovaya-rabota-po-discipline-makroekonomika.html